"Em fins do século XIX, no Congresso de Matemática de Paris, em
1900, Hilbert, renomado professor em Göttingen apresentou 23 problemas, que
segundo ele estariam ocupando os matemáticos do século XX. Seu segundo
problema perguntava se é possível provar que os axiomas da aritmética são
consistentes, isto é, dado um número finito de passos lógicos corretos,
nunca se chegará a uma contradição. Na esteira desse problema, Bertran
Russell, um filósofo matemático (ou será matemático filósofo?) em 1910,
começou uma série de livros (Principia Mathematica), na qual, baseado nos
axiomas de Peano, desenvolvia todo um programa de formalização da
matemática. A tentação era saborosa: provar que lógica e matemática eram a
mesma coisa. Mas, o segundo problema de Hilbert continuava em aberto.
Estudos posteriores de um jovem matemático austríaco, Kurt Gödel, emigrado
para os EUA, que se consubstanciaram no teorema que leva o seu nome, deram o
tiro de misericórdia na pretensão. Gödel provou que num sistema lógico
formal existem assertivas verdadeiras que não podem ser
provadas."2.2
"Na aritmética existem infinitas maneiras de se selecionar um
conjunto finito de axiomas e regras de inferência dentro de um sistema
formal de modo que e pode haver um sistema formal no qual se possa expressar
toda a aritmética, que satisfaça todas as exigências de consistência do
programa de Hilbert. Em outras palavras, não existem seqüências de prova que
demonstrem todas as verdades sobre os números naturais.
Gödel reconheceu a importância da percepção de Hilbert de que toda a
formalização de um ramo da Matemática constitui também um objeto matemático:
quando dizemos que formalizamos algo, significa que criamos uma estrutura
matemática a partir da qual podemos falar acerca do que queremos formalizar.
Deste modo, construindo-se um sistema formal para expressar as verdades da
aritmética, tal sistema formal pode ser estudado não apenas como um conjunto
de regras 'vazias de significado' para manipular símbolos, mas como um
objeto que contém propriedades semânticas e sintáticas. Como Gödel estava
interessado nas relações entre números, seu objetivo foi representar um
sistema formal suficientemente forte para conter a aritmética através da
própria aritmética. Tratava-se de mostrar como codificar qualquer sentença
sobre números e suas relações através de um único número.
Esta idéia torna-se mais clara através da analogia com uma linguagem
natural, como por exemplo, a língua portuguesa. Normalmente usam-se palavras
em Português para descrever propriedades das palavras portuguesas - verbos,
substantivos, etc. -, como acontece com as gramáticas. No caso se está
utilizando a linguagem de duas maneiras diferentes:
- i.
- como uma coleção de expressões não-interpretadas de símbolos
alfabéticos que são manipulados de acordo com as regras da gramática e
sintaxe da língua portuguesa;
- ii.
- como um conjunto de expressões interpretadas tendo um significado
dentro do contexto.
A idéia central é que os mesmos objetos podem ser considerados de duas
maneiras diferentes, abrindo a possibilidade de que o objeto fale sobre si
mesmo. Gödel mostrou que todas as proposições metamatemáticas contidas em um
sistema formal podem ser adequadamente refletidas dentro desse mesmo
sistema. Ele associou as expressões de um sistema formal a um número (o
número Gödel) e construiu proposições metamatemáticas acerca das expressões
e de suas recíprocas relações como uma proposição a respeito dos
correspondentes números Gödel e de suas recíprocas relações aritméticas. É o
que se chama de "aritmetização" da metamatemática.
[...]Gödel desenvolveu um esquema para codificar, através de números
naturais, símbolos lógicos, fórmulas lógicas e seqüências de provas de uma
pequena porção formalizada dos Principia de Russell: a lógica elementar das
proposições.
Paradoxo do mentiroso: ("Esta sentença é
falsa"): Substituição da noção de "verdade" pela de
"passível de prova", ou seja, modificando o paradoxo para:
"Este enunciado não é passível de prova"
Enunciado de Gödel: Gödel mostrou que a sentença "Este
enunciado não é passível de prova" tem uma formulação correspondente
na linguagem da aritmética - que seria a sentença G de Gödel - em qualquer
formalização concebível da aritmética.
Incompletude: Gödel demonstrou então que sua sentença G tem que
ser verdadeira, mas não provável, se o sistema formal é consistente.
Ausência de uma cláusula de escape: Gödel provou que mesmo se axiomas
adicionais fossem acrescentados para se formar um novo sistema no qual a
sentença G fosse então provável, o novo sistema com seus axiomas adicionais
teria sua própria sentença G não provável.
Consistência: Gödel construiu aritmeticamente a proposição
metamatemática "A aritmética é consistente". Demonstrou que
esta proposição não pode ser provada, mostrando que a aritmética como um
sistema formal é fraca para provar sua própria
consistência." 2.3
O teorema de Gödel não está diretamente relacionado com nossas
pesquisas, poderíamos ter seguido direto para o estudo do Witz e não haveria
nenhum prejuízo no entendimento do que é ou como ocorre um fenômeno psi.
Entretanto, tal introdução se faz fundamental quando queremos explorar as
conseqüências mais profundas que a existência do Witz traz para a lógica.
Notas de Rodapé
- ...2.2
- Navarro, Pedro Luis Kantek G. - Bate Byte 95
Março-2000 - Teorema de Gödel - Companhia de Informática do Paraná -
CELEPAR
- ... consistência."2.3
- Filho, Cléuzio Fonseca - Historia da
Computação - Anexo IV Teorema de Gödel - 1998 -
http://www.cic.unb.br/tutores/hci/hcomp/AnexoIVTeoremaGodel.html
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